根据NBA的规定，球员与球队的合同通常在球员现有合同到期之前12个月内进行谈判和签署。对于库里来说，他的当前合同将于2023-24赛季结束后到期。因此，库里和他的经纪人可以在2023年夏天开始与球队进行下一份合同的谈判。
在谈判期间，双方可以就合同期限、薪资、奖金、条款和条件等进行商讨。一旦双方达成一致，他们可以签署一份正式的合同。一般来说，NBA球队在赛季中进行球员续约谈判时，会优先考虑队内核心球员的合同问题，以确保球队未来的稳定和竞争力。
因此，库里下一份合同的签署时间最早可以在2023年夏天开始谈判，并最终在2024年夏天正式签署。当然，具体情况还需根据库里的个人意愿、球队的薪资空间和球队未来的计划等因素来决定。

库里当前合同将在2022-23赛季结束后到期，他最早可以从2022年8月开始与勇士队重新签约，也可以选择进入自由球员市场。如果库里想与勇士队续约，他必须在2023年6月30日前跳出球员选项，然后才能签订一份新的合同。如果他选择进入自由球员市场，他将有权与任何球队签约。